Matris Vektör Çarpımı Olarak Doğrusal (Lineer) Dönüşümler

bu elimizde şuna benzeyen bir eneen matris olduğunu düşünelim genel ifadeler kullanmaya çalışacağım birinci satır birinci suçundaki Terim bir olacak geriye kalan en eksi bir sütundaki tüm terimler is0 Evet bu şekilde en numaralı Terim'e kadar hepsinin sıfır olduğunu düşünelim iki sütunun birinci satırında 02 satırında bir ve Geriye kalanlar aşağıya kadar sıfır olacak aynı şekilde devam ediyoruz 3. satırda ya da sütunda diyeyim aslına bakarsanız 3. satır üçüncüsü tüm en doğrusu olacak evet bu Terim bir diğerleri sıfır olacak bu şekilde devam ettiğimizde matrisin köşegeni birleşiminden oluşmuş olacak fark ettiniz değil mi Men numaralı sütuna ya da sütün vektörüne geldiğimizde sıfırla başlayacağız en numaralı satıra yani son Terim'e geldiğimizde de karşımıza bir çıkacak Evet bu bu gezegeni birlerden oluşan bir matris bu Madrid'in Önümüzdeki videolarda bahsedeceğimiz başka özellikleri de var ama şimdilik bu matris ten bahsetmemiz sebebi doğrusal dönüşümler söz konusu olduğunda çok da faydalı bir özelliği olması bu birim matris Evet ı6 indi Sen olarak adlandırılır cam ne dememin sebebi ne yine bir Matriks olması ev mesela Eğer III altın dizi ki deseydim bu ikiye iki bir matris olurdu ve buna benzerdi Eğer III Aldı hindis 3der Seni sevmeyen yazıyorum 100010 v001 olurdu Anladınız değil mi bu biri matrisin Az önce faydalı olarak nitelendirdiği özelliği bum adresi bir vektör ile çarptığımız zaman Evet bu vakit ortaya çıkıyor mesela bunu R üzeri Emin bir elemanı ol tek bileşenli bir vektörle çarpa biliriz Deneyelim mi Evet bu matrisi ve 4dx adını verelim Ekspress -2 diye başlayarak ilk sene kadar devam eden bir vektör sonuç ne olur dersiniz bunun x olduğunu da not ediyorum birim matris imiz Evet ıııı altın dizen olarak yazıyorum ve üzeri enin bir elemanı ve en tane de bileşeni olan ilk sektörü ile çarparsam sonuç ne olur bir Çarpı x Bir artısı fırça x260 x360 X4 dersem bunu bu satırın bu vektörlerle nokta çarpımı almak olarak düşünebilirsiniz sıfır olmayan tek Terim bir Çarpı x bir Öyle değil mi o halde sonuç şöyle yazayım yine R üzerinden bir vektör elde edeceğimiz için birinci Terim bu satırın ve dövme nokta çarpımı demiştik Sonuç olarak da ek bu elde etmiştir Buna göre ikinci terim ve bu satırın ya da bu satırın bu sütunla nokta çarpımının transpozesi olarak da düşünebiliriz 0x bir artı bir çarpı eksi ki artık sonra sıfır çarp ix350 çarpı diğerleri sıfırdan farklı tek Terim bir çarpı eksi olacağı için de buradan X2 gelecek bu şekilde devam edince sonra 2-3 gelecek Çünkü buradaki sıfırdan farklı tek Terim de üçüncüsü olacak evet bu şekilde ilk seneye kadar devam ederiz ve bu neye eşittir Bu i x eşittir Öyle değil mi O halde biri matrisin en faydalı Özelliği neymiş hangi vektörle çarparsak çarpalım Sonuç olarak o vektörü elde ediyor muyuz Evet birim matrislere Üzerindeki herhangi bir vektörü çarpınca Razor and i tanımlı vektörlerden bahsettiğimi de altını çizeyim Sonuç olarak o vektörü el bu birim adresini sütunları ya da sütün kümesinde özel bir ismi vardır bu sütunlara mesela bu sütuna E bir İkincisi ne2 sonra E3 bu şekilde Ee Neye kadar devam edelim Evet bu sütün vektörlerinin kümesine Hemen not ediyorum E1 e2 dene Neyi kadar Evet bu küme yere üzeri e nin standart tabanı adı verilir ve ki bu şekilde bir isim almasının sebebi nedir taban kelimesi kullanıldığına göre doğruluğundan Emin olduğumuz iki şeyden bahsedebiliriz Bunlar R üzerini kapsamalı ve doğrusal bağımsız olmalılar bağımsız olduklarını ilk bakışta da anlayabilirsiniz Burada bir tane bir varsa ve diğerlerinde bir Yoksa bunu diğerlerinin herhangi bir kombinasyonu olarak ifade edemeyiz bunu bileşenlerin her biri için de söyleyebiliriz doğrusal bağımsız O da anladığımıza göre hemen devam edelim kapsam söz konusu olduğunda da yani bunların herhangi bir doğrusal kombinasyonuyla herhangi bir vektör oluşturmaktan bahsettiğimiz de hangi vektörü oluşturmak isterseniz isteyin mesela iksiri ele alalım Evet eğer bu vektör oluşturmak isterseniz şöyle yazayım farklı bir tane olsun mesela a1 a2 ile başlayıp aa e ne kadar devam eden vektör oluşturmak istediğimiz Evet bunu oluşturmak istediğimizi düşünelim rzr nin bir elemanı olacak bizi buna götürecek doğrusal kombinasyona bir çarpı E bir artı A2 çarpı e2 bu şekilde a en çarpı Ee ne kadar devam edeceğiz bu skalerle birinci sütün vektörünün çarpımı hemen yazıyorum ama bir ve bir sürü sıfır en eksi bir tane sıfır ve 360 A2 ve Yine bir sürü sıfır artı bu şekilde devam ettiğimizde bir sürü sıfır ve en son olarak da a en gelecek vektör toplamı tanımına dayanarak da bunları topladığımızda bunu elde ederiz ve bu da bariz bir şey çünkü bu birim matrisle anın çarpımından başka bir şey değildir size anlatmak istediğim buydu Şimdi de doğrusal dönüşümlerle ilgili bildiklerinizi bilim matris ile ilgili öğrendiğimiz bu özellikle birleştirelim Size az önce herhangi bir vektör bu şekilde gösterebileceğim izi söyledim Belki de ilk sürümden yazarsam daha iyi olacak Evet herhangi bir x-back körünü birim matrisin sütunların dan oluşan standart abanın doğrusal kombinasyonu olarak yazabiliyoruz expere çarpı E bir artı iki çarpı e2 denk Sen çarpı Ee ne kadar buradaki sütün vektör O her biri Mesela e 1 de birinci Terim bir ve diğerleri sıfır reiki'nin de ikinci terimi 1m diğerleri sıfır een ya da E5 giyim V terimi bir diğerleri sıfır bu gösterdiğim burada baktığımızda zaten çok açık şimdi tanıma göre x'in bir doğrusal dönüşümü şu şekilde yazayım ilksin Ya da ilk sektörünün bir doğrusal dönüşümü bunun hepsinin doğrusal dönüşümünü alıyoruz farklı bir renk yazarsam daha iyi olacak Ah Bir saniye bir saniye l yerine tek kullanıyorum evde kullanıyorum de daha iyi olacak Ne diyordum ilksin Bir doğrusal dönüşümü doğrusal dönüşümüne eşittir yazıyorum expere Çarpı x bir artık siki çarpı Z2 denk Sen çarpı Ee ne kadar Bunlar eşdeğer ifadeler şimdi doğrusal dönüşümün tanımından yola çıkarak da bunun yani bir top bu dönüşümünün dönüşümlerin toplamına eşit olduğunu biliyoruz Hemen not ediyorum ix1 çarpı e birinin dönüşümü artı iki çarpı e 2'nin dönüşümü ve bu şekilde Eksen çarpı enin dönüşümü ne kadar devam edeceğiz bu Herhangi bir doğrusal dönüşüm doğrusal dönüşümler tanım gereği bu özelliklere sahip olmalılar eksikliği çarpı ekinin dönüşümü bu şekilde skaler x en çarpı standart taban vektörü enin dönüşümü doğrusal dönüşümlerin bir başka özelliğine bağlı olarak da bir taleplerle dedektör çarpımının dönüşümünün skalerin vektörün dönüşümüyle çarpımına eşit olduğunu da biliyoruz Evet bunlar doğrusal dönüşümlerin tanımlarından geliyor artık siki Çarpı x 2'nin dönüşümü artı nokta nokta nokta ilk sen çarpı beğenin dönüşüm ya bu nedir şu ana kadar yaptıklarımı ilk sim dönüşüm doğrusal dönüşümler için geçerli özellikleri kullanarak bunu elde ettik Ve bu da bunların her birini bir sütun vektörü olarak kabul edersek bana bunun ne eşit olacağını söyleyebilir misiniz Bu birinci sütün Evet bunu yazıyorum Ee birinin dönüşümü ikinci sütün te2 olacak bu şekilde t e n ye kadar devam edeceğiz ve çarpık X1 X2 den başlayıp ilk seneye kadar bunu daha önce defalarca gördük ve bunun çok ama çok faydalı olmasının sebebi herhangi bir dönüşümle başladık Öyle değil mi size bu dönüşümün bir matizle eski taban vektörleri ne aynı dönüşümün uygulanması olarak düşünün Evet bu matrisle ilk sektörünü çarptığım da dönüşümün kendisini elde ediyorum Buna dayanarak da tüh o düğümler biraz dikkatli olmam lazım tüm doğrusal dönüşümler bir matris vektör çarpımı olarak ifade edilebilir size Bunun nasıl yapıldığını yanı sıra çok da basit ve kolay bir şey olduğunu gösterdim Şimdi de bir örnek göstereyim çok basit bir şey olsun bir dönüşüm vuracağım Evet bu dönüşüm ve kare ile renk ip arasında bir eşleşme yapsın böyle düşünelim dönüşümüz dtx Bir X2 olsun ve birinci Terim'in X1 artı3 X2 olsun ikinci Terim 5x 2 eksikse bir olsun ve üçüncüde 4x bir artık S2 olsun bu bir eşleşme ve İstersen bunu rekare de ki Herhangi bir ve göre uygulayabilirim Ekspress X2 Belki de gereksiz bir şey yapıyorum Ama ne yaptığımı anlamanızı istiyorum Bu gösterim daha iyi Evet Evet ix1 artı33 x25xe iki eksikse bir v4x bir artık S2 bu iki ifade birbirinin aynısı Anlaştık mı Ama ben bu şekilde daha anlaşılır olduğunu düşünüyorum Az önce size bu dönüşümü bir matris vektör çarpımı olarak ifade edebileceğimi söyledim Peki bunu nasıl yapacağız bunun için bunun dönüşümünü alacağız tanım kümesi ve kare ve sonuç olarak R küpün elemanı olan bir vektör elde edeceğiz evet bunları R karedeki vektörlerle çarpacağız bunun içinde birim matris de hatta tanım kümesi rekare olduğu için 1001 bununla başlayıp dönüşümü bunun sütunlarına yani standart tabanların her birine uygulayacağız Bunlar rekare nin standart tabanları Öyle değil mi Bunların taban olduklarını gösterdim Peki standart olduklarını nereden biliyoruz var yani bunlara Neden standart tabanlar adı veriliyor çok fazla Detay Vermedim ama bunların diğerleriyle nokta çarpımını aldığınızda hepsinin birbirine ortogon al olduklarını görebilirsiniz Evet bu sütunların diğerleriyle nokta çarpımları her zaman sıfırdır ve bu da güzel bir ipucudur hepsinin uzunluğunda bir olduğu için bunlara standart taban adı verilir şimdi bu dönüşümü bir matris vektör çarpımı olarak ifade etmek gelişimimize geri dönerim tanım kümesi rekare olduğu için ı2 ile başladık bu ikiye iki birim matris ve şimdi de dönüşümü bunun sütün vektörleri Ne yani rekare nin standart taban ve göllerinde uygulayacağız öyle yazayım birinci sütun T10 ikincisi dt01 olacak yazımı okumakta zorluk çektiğini biliyorum Lütfen biraz idare edin tamam devam edeyim 10 Back torunun dönüşümü nedir hemen buna bakalım yeni bir vektör oluşturalım Evet bir artı üç çarpı 01 eder 5 çarpı sıfır -1 -1 eder ve dört çarpı bir artı 0da dörder Peki ya sıfır Bir'in dönüşüm burada bakıyorum sıfır artı33 eder sıfır eksi birden -1 ve bir saniye doğru yaptığımdan emin olmak istiyorum beş çarpı sıfır -1 -1 eder evet ama bu defa 21 olduğu için 5 çarpı bir eksi sıfırdan beş gece göre değil mi Tamam son olarak da dört çarpı sıfır artı birden bir bu standart taban vektörleri dönüşümlerle yer değiştirince ne el dedik bu vektör elde ediyoruz değil ne olduklarını bulduk Hemen not edelim bunu alıp değerlendirdi Bu bir Eksi 14 bu da 35 ve bir olur gördüğünüz gibi Bu arada ben bunun gerçekten de Etkileyici bir şey olduğunu düşünüyorum Bu dönüşümü bir vektörle herhangi bir ve gör Mesela bu A vektörü olsun ya da bir saniye doğrudan dönüşümü yazayım Ekspress x-2'nin dönüşümünü bu matrisle yeşil kullanacağım 13 -1 541 matrisi ile çarpı girdi vektörü yani x1222 olarak yazdık ve bu Çok havalı bir durum Çünkü artık sadece bir matris çarpımı yapmalıyız ki bunu Oldukça hızlı yapabilen bir profesör de var az önce de söylediğim gibi ben bunu gerçekten de çok etkileyici buluyorum Çünkü ikiye iki bir matrisin sütunlarına bu dönüşüm uyguladık ve 3 2 1 matris elde ettik ve üçe 21 matrisi Ben de ki bir vektörle çarptığımızda ne olduğunu da biliyoruz bunun ikiye bir bir matris olduğunu söyleyebiliriz R Küpte bir vektör elde edeceğiz Öyle değil mi bunlarla bunun çarpımı birinci terimi bunlarla bunun çarpımı ikinci ve bunlarla bunun çarpımı da üçüncü terimi verir o halde bu üçe iki matrisi oluşturacak R kareden renk küpe bir eşleşme oldu mu