Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 1

Ders 5: Çok Değişkenli Fonksiyon Grafikleri

Parametrik fonksiyonlar, bir parametre

Parametrik fonksiyonlar, bir boyutlu girdiye ve çok boyutlu çıktıya sahip fonksiyonları temsil etmenin bir yoludur.

Arka plan

Çok değişkenli fonksiyonlar

Parametrik denklemleri öğrenmek için bu videoyu izleyebilirsiniz. Bu makalede, aynı kavramı çok değişkenli fonksiyonlar bağlamında tanımlamak hedeflenmektedir.

Neye ulaşıyoruz

Tek boyutlu girdisi ve çok boyutlu çıktısı olan bir fonksiyon, uzayda bir eğri çizmek gibi düşünülebilir.
Böyle bir fonksiyon bir parametrik fonksiyon olarak, bunun girdisi ise bir parametre olarak adlandırılır.
Çok değişkenli analizde, bazen belirli bir eğriyi çizen bir parametrik fonksiyonu bulmanız gerekir. Bu, o eğriyi parametrelendirmek veya parametrelerle tanımlamak olarak adlandırılır.

Vektör değerli fonksiyonların görselleştirilmesi

Günün birinde mutlu şekilde matematikle ilgilenirken, birden bunun gibi bir fonksiyonla karşılaşıyorsunuz:

$f (t) = [\begin{matrix} t \cdot \cos (2 π t) \\ t \cdot \sin (2 π t) \end{matrix}]$ ‍

Bu fonksiyonu nasıl görselleştirirsiniz?

Bu fonksiyon, tek bir değişken,

t

, alır ve iki boyutlu bir vektör verir. Örneğin,

t = 1

girdisi için değeri aşağıdaki gibi bulunur:

$f (1) = [\begin{matrix} 1 \cdot \cos (2 π \cdot 1) \\ 1 \cdot \sin (2 π \cdot 1) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]$ ‍

Bu çıktı, uzunluğu

1

olan ve

x

yönünü gösteren bir vektördür.

Ancak, çıktıların hepsini bir kerede nasıl görselleştirirsiniz?

Bunu yapmanın iyi bir yolu,

t

başka değerler aldığında bu vektörün ucunun hangi eğriyi izleyeceğini düşünmektir. Örneğin, aşağıdaki etkileşimli şema

f

nin çıktısının

t

0

'dan

3

'e değişirken izleyeceği yolu göstermektedir:

Bu bir parametrik eğri olarak adlandırılır. Fonksiyonu bu yolla tanımlamayı tercih ettiğinizde, bu bir parameterik fonksiyon olarak ve

t

girdisi parametre olarak adlandırılır.

Sadece çıktı uzayına bakın

Dikkat ederseniz, bir fonksiyonun hem girdi uzayını hem çıktı uzayını aynı anda tasvir etmeye çalıştığımız grafiklerden veya sadece girdi uzayında çizdiğimiz eş yükselti haritalarından farklı olarak, fonksiyonları parametrik olarak yorumlarken sadece çıktı uzayına bakarız. Yukarıdaki örnek için bunun mantıklı olmasının nedeni, çıktı uzayının girdi uzayından daha çok boyutlu olmasıdır.

Girdi bilgisi kayıptır

Sadece çıktı uzayını çizmedeki problem, çizdiğimiz çıktı değerlerine hangi girdilerin gittiğini görmenin açık olmamasıdır. Örneğin, şu iki fonksiyonu düşünün:

$\begin{aligned} f (t) & = [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \end{array}] \\ g (t) & = [\begin{array}{c} \cos (t + π) \\ \sin (t + π) \end{array}] \end{aligned}$ ‍

t

0

'dan

2 π

'ye giderken bunları parametrik fonksiyonlar olarak çizersek, her biri merkezi başlangıç noktası olan

1

yarıçaplı bir çember çizer.

Ancak, bunlar farklı fonksiyonlardır. Örneğin, her birisini

t = 0

'da hesaplayalım.

f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]

verilmiştir,

f (0)

nedir?

[Cevap]

g (t) = [\begin{matrix} \cos (t + π) \\ \sin (t + π) \end{matrix}]

verilmiştir,

g (0)

nedir?

[Cevap]

Kayıp girdi bilgisini izlemenin bir yolu, birkaç noktayı girdi ile işaretlemektir

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍
Çemberin ilk parametrizasyonu

$g (t) = [\begin{matrix} \cos (t + π) \\ \sin (t + π) \end{matrix}]$ ‍
Çemberin ikinci parametrizasyonu

Alternatif olarak,

t

başlangıç değerinden son değere giderken eğrinin zaman boyunca nasıl çizildiğini hayal edebilirsiniz. Bu, fonksiyon bir parçacığın uzayda yörüngesini modellediği zaman özellikle geçerli olur.

Parametrelendirme

Çok değişkenli analizde ve özellikle '''çizgi integrali alma'' adındaki başlıkta, genelde bir eğriyle başlanır ve o eğriyi çizen parametrik fonksiyon aranır. Oldukça sık karşılaşılan bir örnek, merkezi başlangıç noktasında olan ve yarıçapı

1

olan birim çemberdir.

Bir eğriyi tanımlayan bir parametrik fonksiyonu bulmak, o eğriyi parametrelendirmek olarak adlandırılır. Bir önceki bölümde, birim çemberi parametrelendiren iki farklı fonksiyon göstermiştim. Genelde kişilerin pratikte en sık kullandığı budur:

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

Not: Bir eğriyi parametrelendirirken, sadece parametrik fonksiyonu değil aynı zamanda eğriyi çizecek olan girdi değerlerinin kümesini de belirlemelisiniz. Örneğin, yukarıdaki birim çemberi çizmek için

f (t)

fonksiyonunu kullanırken,

t

'nin

0

ile

2 π

arasında değişmesine izin verebilirsiniz.

Örnek: Bir eğriyi parametrize etme

Aşağıdaki çembere benzer eğriyi parametrelendirmek istediğinizi düşünelim:

Bir eğriyi parametrize etmek için, daima onu çizmeyi düşünmelisiniz. Bu durumda, bunu çizmek için, biri sabit süratle elinizi sağa doğru iterken saat yönünün tersine bir çember çizmeye çalıştığınızı hayal etmelisiniz. Bunu formülleri kullanarak kodlamak için, çemberin parametrik fonksiyonuyla başlarız:

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

(1, 0)

noktasından başlamamızı ve yarıçapı

1

olan bir çemberi saat yönünün tersine izlememizi gerektirir. Parametrelendirdiğimiz çemberli eğri

(- 2, 0)

'da başladığı için,

x

değerini

- 3

ile öteleyerek bu fonksiyonu değiştirmeye başlarız.

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) - 3 \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

Zamanda sağa itilmek, elinizin

x

değerinde zamana göre sabit bir artışa karşılık gelir, bu elinizin çember için yaptığı hareketlerden bağımsızdır. Bunu kodlamak için, fonksiyonun

x

bileşenine

t

çarpı bir

c

sabiti ekleyin.

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) - 3 + c t \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

Sabitin ne olması gerektiğini belirlemek için, bir döngüyü tamamladıktan sonra sağ ucun ne kadar hareket ettiğini bilmemiz gerekir. Mevcut fonksiyonumuz

f (t)

t

0

'dan

2 π

'ye giderken bir döngüyü tamamlar. Çemberli eğriye bakarsak, bir döngüden sonra sağa doğru tam olarak

1

kayıyoruz gibi gözüküyor.

2 π c = 1

olması gerektiği anlamını taşır, dolayısıyla

c = \frac{1}{2 π}

'dir.

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) - 3 + \frac{1}{2 π} t \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

Son olarak,

t

'nin sınırlarını yerleştiririz. Çemberli eğrinin kaç tane döngüye sahip olduğunu görelim:

6

tane gibi gözüküyor. Seçilmiş fonksiyonumuz

f (t)

bir döngüyü

t

2 π

yükseldiğinde tamamladığından, bunun

0

'dan

6 (2 π) = 12 π

'ye değişmesine izin vermeliyiz.

Özet

Tek boyutlu girdisi ve çok boyutlu çıktısı olan bir fonksiyon, uzayda bir eğri çizmek gibi düşünülebilir.
Böyle bir fonksiyon bir parametrik fonksiyon olarak, bunun girdisi ise bir parametre olarak adlandırılır.
Çok değişkenli analizde, bazen belirli bir eğriyi çizen bir parametrik fonksiyonu bulmanız gerekir. Bu, o eğriyi parametrelendirmek veya parametrelerle tanımlamak olarak adlandırılır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.