If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Parametrik fonksiyonlar, bir parametre

Parametrik fonksiyonlar, bir boyutlu girdiye ve çok boyutlu çıktıya sahip fonksiyonları temsil etmenin bir yoludur.

Arka plan

Parametrik denklemleri öğrenmek için bu videoyu izleyebilirsiniz. Bu makalede, aynı kavramı çok değişkenli fonksiyonlar bağlamında tanımlamak hedeflenmektedir.

Neye ulaşıyoruz

  • Tek boyutlu girdisi ve çok boyutlu çıktısı olan bir fonksiyon, uzayda bir eğri çizmek gibi düşünülebilir.
  • Böyle bir fonksiyon bir parametrik fonksiyon olarak, bunun girdisi ise bir parametre olarak adlandırılır.
  • Çok değişkenli analizde, bazen belirli bir eğriyi çizen bir parametrik fonksiyonu bulmanız gerekir. Bu, o eğriyi parametrelendirmek veya parametrelerle tanımlamak olarak adlandırılır.

Vektör değerli fonksiyonların görselleştirilmesi

Günün birinde mutlu şekilde matematikle ilgilenirken, birden bunun gibi bir fonksiyonla karşılaşıyorsunuz:
f(t)=[tcos(2πt)tsin(2πt)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} t \cdot \cos(2\pi t) \\ t \cdot \sin(2\pi t) \end{array} \right]
Bu fonksiyonu nasıl görselleştirirsiniz?
Bu fonksiyon, tek bir değişken, t, alır ve iki boyutlu bir vektör verir. Örneğin, t, equals, 1 girdisi için değeri aşağıdaki gibi bulunur:
f(1)=[1cos(2π1)1sin(2π1)]=[10]\displaystyle f(1) = \left[ \begin{array}{c} 1 \cdot \cos(2\pi \cdot1) \\ 1 \cdot \sin(2\pi \cdot 1) \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]
Bu çıktı, uzunluğu 1 olan ve x yönünü gösteren bir vektördür.
Ancak, çıktıların hepsini bir kerede nasıl görselleştirirsiniz?
Bunu yapmanın iyi bir yolu, t başka değerler aldığında bu vektörün ucunun hangi eğriyi izleyeceğini düşünmektir. Örneğin, aşağıdaki etkileşimli şema fnin çıktısının t 0'dan 3'e değişirken izleyeceği yolu göstermektedir:
Bu bir parametrik eğri olarak adlandırılır. Fonksiyonu bu yolla tanımlamayı tercih ettiğinizde, bu bir parameterik fonksiyon olarak ve t girdisi parametre olarak adlandırılır.

Sadece çıktı uzayına bakın

Dikkat ederseniz, bir fonksiyonun hem girdi uzayını hem çıktı uzayını aynı anda tasvir etmeye çalıştığımız grafiklerden veya sadece girdi uzayında çizdiğimiz eş yükselti haritalarından farklı olarak, fonksiyonları parametrik olarak yorumlarken sadece çıktı uzayına bakarız. Yukarıdaki örnek için bunun mantıklı olmasının nedeni, çıktı uzayının girdi uzayından daha çok boyutlu olmasıdır.

Girdi bilgisi kayıptır

Sadece çıktı uzayını çizmedeki problem, çizdiğimiz çıktı değerlerine hangi girdilerin gittiğini görmenin açık olmamasıdır. Örneğin, şu iki fonksiyonu düşünün:
f(t)=[cos(t)sin(t)]g(t)=[cos(t+π)sin(t+π)]\begin{aligned} \blueE{f(t)} &= \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right] \\\\ \redE{g(t)} &= \left[ \begin{array}{c} \cos(t+\pi) \\ \sin(t+\pi) \end{array} \right] \end{aligned}
t 0'dan 2, pi'ye giderken bunları parametrik fonksiyonlar olarak çizersek, her biri merkezi başlangıç noktası olan 1 yarıçaplı bir çember çizer.
çember
Ancak, bunlar farklı fonksiyonlardır. Örneğin, her birisini t, equals, 0'da hesaplayalım.
f(t)=[cos(t)sin(t)]\blueE{f(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right] verilmiştir, start color #0c7f99, f, left parenthesis, 0, right parenthesis, end color #0c7f99 nedir?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

g(t)=[cos(t+π)sin(t+π)]\redE{g(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t+\pi) \\ \sin(t+\pi) \end{array} \right] verilmiştir, start color #bc2612, g, left parenthesis, 0, right parenthesis, end color #bc2612 nedir?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Kayıp girdi bilgisini izlemenin bir yolu, birkaç noktayı girdi ile işaretlemektir
f(t)=[cos(t)sin(t)]\blueE{f(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right]
Çemberin ilk parametrizasyonu
g(t)=[cos(t+π)sin(t+π)]\redE{g(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t+\pi) \\ \sin(t+\pi) \end{array} \right]
Çemberin ikinci parametrizasyonu
Alternatif olarak, t başlangıç değerinden son değere giderken eğrinin zaman boyunca nasıl çizildiğini hayal edebilirsiniz. Bu, fonksiyon bir parçacığın uzayda yörüngesini modellediği zaman özellikle geçerli olur.

Parametrelendirme

Çok değişkenli analizde ve özellikle '''çizgi integrali alma'' adındaki başlıkta, genelde bir eğriyle başlanır ve o eğriyi çizen parametrik fonksiyon aranır. Oldukça sık karşılaşılan bir örnek, merkezi başlangıç noktasında olan ve yarıçapı 1 olan birim çemberdir.
çember
Bir eğriyi tanımlayan bir parametrik fonksiyonu bulmak, o eğriyi parametrelendirmek olarak adlandırılır. Bir önceki bölümde, birim çemberi parametrelendiren iki farklı fonksiyon göstermiştim. Genelde kişilerin pratikte en sık kullandığı budur:
f(t)=[cos(t)sin(t)]f(t) = \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right]
Not: Bir eğriyi parametrelendirirken, sadece parametrik fonksiyonu değil aynı zamanda eğriyi çizecek olan girdi değerlerinin kümesini de belirlemelisiniz. Örneğin, yukarıdaki birim çemberi çizmek için f, left parenthesis, t, right parenthesis fonksiyonunu kullanırken, t'nin 0 ile 2, pi arasında değişmesine izin verebilirsiniz.

Örnek: Bir eğriyi parametrize etme

Aşağıdaki çembere benzer eğriyi parametrelendirmek istediğinizi düşünelim:
Sağa itilirken çember çizin
Bir eğriyi parametrize etmek için, daima onu çizmeyi düşünmelisiniz. Bu durumda, bunu çizmek için, biri sabit süratle elinizi sağa doğru iterken saat yönünün tersine bir çember çizmeye çalıştığınızı hayal etmelisiniz. Bunu formülleri kullanarak kodlamak için, çemberin parametrik fonksiyonuyla başlarız:
f(t)=[cos(t)sin(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right]
Bu left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis noktasından başlamamızı ve yarıçapı 1 olan bir çemberi saat yönünün tersine izlememizi gerektirir. Parametrelendirdiğimiz çemberli eğri left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis'da başladığı için, x değerini minus, 3 ile öteleyerek bu fonksiyonu değiştirmeye başlarız.
f(t)=[cos(t)3sin(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) -3 \\ \sin(t) \end{array} \right]
Zamanda sağa itilmek, elinizin x değerinde zamana göre sabit bir artışa karşılık gelir, bu elinizin çember için yaptığı hareketlerden bağımsızdır. Bunu kodlamak için, fonksiyonun x bileşenine t çarpı bir start color #bc2612, c, end color #bc2612 sabiti ekleyin.
f(t)=[cos(t)3+ctsin(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) -3 + \redE{c}t\\ \sin(t) \end{array} \right]
Sabitin ne olması gerektiğini belirlemek için, bir döngüyü tamamladıktan sonra sağ ucun ne kadar hareket ettiğini bilmemiz gerekir. Mevcut fonksiyonumuz f, left parenthesis, t, right parenthesis, t 0'dan 2, pi'ye giderken bir döngüyü tamamlar. Çemberli eğriye bakarsak, bir döngüden sonra sağa doğru tam olarak 1 kayıyoruz gibi gözüküyor.
Bir döngüden sonra birinin sağa gittiği uzaklık
Bu 2, pi, start color #bc2612, c, end color #bc2612, equals, 1 olması gerektiği anlamını taşır, dolayısıyla start color #bc2612, c, equals, start fraction, 1, divided by, 2, pi, end fraction, end color #bc2612'dir.
f(t)=[cos(t)3+12πtsin(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) -3 + \redE{\frac{1}{2\pi}}t\\ \sin(t) \end{array} \right]
Son olarak, t'nin sınırlarını yerleştiririz. Çemberli eğrinin kaç tane döngüye sahip olduğunu görelim:
Sağa itilirken çember çizin
6 tane gibi gözüküyor. Seçilmiş fonksiyonumuz f, left parenthesis, t, right parenthesis bir döngüyü t 2, pi yükseldiğinde tamamladığından, bunun 0'dan 6, left parenthesis, 2, pi, right parenthesis, equals, 12, pi'ye değişmesine izin vermeliyiz.

Özet

  • Tek boyutlu girdisi ve çok boyutlu çıktısı olan bir fonksiyon, uzayda bir eğri çizmek gibi düşünülebilir.
  • Böyle bir fonksiyon bir parametrik fonksiyon olarak, bunun girdisi ise bir parametre olarak adlandırılır.
  • Çok değişkenli analizde, bazen belirli bir eğriyi çizen bir parametrik fonksiyonu bulmanız gerekir. Bu, o eğriyi parametrelendirmek veya parametrelerle tanımlamak olarak adlandırılır.