i Sayısı ve Sanal Sayılar

İmajiner birim i'yi, imajiner sayıları ve negatif sayıların kareköklerini öğrenin.
Matematik çalışmalarınızda, ikinci dereceden bazı denklemlerin hiç gerçek sayı çözümü olmadığını fark etmiş olabilirsiniz.
Örneğin, isterseniz deneyebilirsiniz, x2=1x^2=-1 denklemi için asla gerçek sayı bir çözüm bulamayacaksınız. Bunun nedeni, bir gerçek sayının karesi alındığında negatif bir sayı elde etmenin imkansız olmasıdır!
Bununla birlikte, x2=1x^2=-1 denklemi için karmaşık sayı sistemi olarak adlandırılan yeni bir sayı sisteminde bir çözüm bulunmaktadır.

İmajiner birim

Bu yeni sayı sisteminin belkemiği imajiner birim yani ii sayısıdır.
ii sayısına ilişkin olarak aşağıdaki ifade doğrudur:
  • i=1i=\sqrt{-1}
  • i2=1 i^2=-1
İkinci özellik, bize ii sayısının gerçekten x2=1x^2=-1 denkleminin bir çözümü olduğunu gösterir. İmajiner birimin eklenmesiyle, daha önce çözülemez olan denklem artık çözülebilmektedir!

Yalın İmajiner Sayılar

ii sayısı yalnız değildir! Bu imajiner birimin katlarını alarak, sonsuz sayıda çok yalın imajiner sayı yaratabiliriz.
Örneğin, 3i3i, i5i\sqrt{5} ve 12i-12i, veya bb'nin sıfır harici gerçek sayı olduğu bibi formundaki sayıların hepsi yalın imajiner sayılara örnektir.
Bu sayıların karesini almak, bunların gerçek sayılarla ne şekilde ilişkili olduğunu biraz aydınlatır. 3i3i sayısının karesini alarak bunu biraz araştıralım. Tam sayı üslerin özellikleri aynı kalır, dolayısıyla 3i3i'nin karesini aynen düşündüğümüz gibi alabiliriz.
(3i)2=32i2=9i2\begin{aligned}(3i)^2&=3^2i^2\\ \\ &=9{i^2}\\\\ \end{aligned}
i2=1i^2=-1 olduğu gerçeğini kullanarak, bunu aşağıda gösterildiği gibi daha fazla sadeleştirebiliriz.
(3i)2=9i2=9(1)=9\begin{aligned}\phantom{(3i)^2} &=9\goldD{i^2}\\\\ &=9(\goldD{-1})\\\\ &=-9 \end{aligned}
(3i)2=9(3i)^2=-9 olması, 3i3i'nin 9-9'un karekökü olduğu anlamını taşır.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

Bu yolla, yalın imajiner sayıların, negatif sayıların karekökleri olduğunu görebiliriz!

Yalın imajiner sayıları sadeleştirme

Aşağıdaki tablo, yalın imajiner sayılar için hem sadeleştirilmiş hem sadeleştirilmemiş formda örnekler göstermektedir.
Sadeleştirilmemiş formSadeleştirilmiş form
9\sqrt{-9}3i3i
5\sqrt{-5}i5i\sqrt{5}
144-\sqrt{-144}12i-12i
Ancak, bu yalın imajiner sayıları nasıl sadeleştiriyoruz?
Birinci örneğe daha yakından bakalım ve sadeleştirmeyi düşünebilir miyiz görelim.
Orijinal denklikDüşünme süreci
9=3i\begin{aligned}\sqrt{-9} = 3i \end{aligned}9-9'un karekökü imajiner bir sayıdır. 99'un karekökü 33'tür, buna göre negatif 99'un karekökü 3\textit 3 imajiner birim veya 3i3i'dir.
Aşağıdaki özellik, yukarıdaki ''düşünme sürecini'' matematiksel terimlerle açıklar.
a>0a>0 için, a=ia\Large\sqrt{-a}=i\sqrt{a}
Eğer bunu köklü sayıları sadeleştirmeye ilişkin bildiklerimizle birleştirirsek, tüm yalın imajiner sayıları sadeleştirebiliriz. Bir örneğe bakalım.

Örnek

18\sqrt{-18}'i sadeleştirin.

Çözüm

Önce, 18\sqrt{-18}'in bir imajiner sayı olduğuna dikkat edin, çünkü bu negatif bir sayının kareköküdür. Dolayısıyla, 18\sqrt{-18}'i i18i\sqrt{18} olarak tekrar yazarak başlayabiliriz.
Sonra, köklü ifadeleri sadeleştirmeye ilişkin bildiklerimizi kullanarak 18\sqrt{18}'i sadeleştirebiliriz.
İş aşağıda gösterilmiştir.
18=i18a>0,  içina=ia=i929, ’in tam kare olan bir çarpanıdır18=i92ab=ab burada a,b0=i329=3=3i2Çarpma işlemi yer deişme zelliine sahiptirg˘o¨g˘\begin{aligned}\sqrt{-18}&=i\sqrt{18}&&\small{\gray{\text{$a>0$, $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$ için}}}\\\\ &=i\cdot\sqrt{9\cdot 2}&&\small{\gray{\text{$9$, $18$'in tam kare olan bir çarpanıdır}}}\\\\ &=i\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}&&\small{\gray{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \text{ burada } a, b\geq0}} \\\\ &=i\cdot 3\cdot \sqrt2&&\small{\gray{\sqrt{9}=3}}\\\\ &=3i\sqrt{2}&&\small{\gray{\text{Çarpma işlemi yer değişme özelliğine sahiptir}}} \end{aligned}
Buna göre, 18=3i2\sqrt{-18}=3i\sqrt{2}'dir.

Şimdi birkaç soruyla alıştırma yapalım

Problem 1

Problem 2

Problem 3

Neden imajiner sayılar var?

Cevap basittir. İmajiner birim ii, gerçek sayı çözümü olmayan pek çok denklemin çözümünü bulmamızı sağlar.
Bu saçma gelebilir, ancak aslında denklemlerin bir sayı sisteminde çözülemez olması ancak daha genel bir başka sayı sisteminde çözülebilmesi oldukça yaygındır.
Burada daha aşina olabileceğiniz birkaç örnek bulunuyor.
  • x+8=1x+8=1'i sadece sayma sayılarıyla çözemeyiz; bunun için bize tam sayılar lazım!
  • 3x1=03x-1=0'ı sadece tam sayılarla çözemeyiz; bunun için bize irrasyonel sayılar lazım!
  • x2=2x^2=2'yi sadece rasyonel sayılarla çözemeyiz. İrrasyonel sayılara ve gerçel sayı sistemine girin!
Böylece, sadece gerçek sayılarla x2=1x^2=-1'i çözemeyiz. Bunun için bize imajiner sayılar gerekiyor!
Matematik alanındaki bilginiz arttıkça, bu sayıların önemini görmeye başlayacaksınız.
Yükleniyor