If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Cebir 2

Konu: Cebir 2 > Ünite 2

Ders 1: Sanal Sayılar
Matematik
Cebir 2
Karmaşık Sayılar
Sanal Sayılar
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

i Sayısı ve Sanal Sayılar

Google Classroom
Sanal (imajiner) birim i'yi, sanal sayıları ve negatif sayıların kareköklerini öğrenelim.
Matematik çalışmalarınızda, ikinci dereceden bazı denklemlerin hiç gerçek sayı çözümü olmadığını fark etmiş olabilirsiniz.
Örneğin, isterseniz deneyebilirsiniz, x, squared, equals, minus, 1 denklemi için asla gerçek sayı bir çözüm bulamayacaksınız. Bunun nedeni, bir gerçek sayının karesi alındığında negatif bir sayı elde etmenin imkansız olmasıdır!
Bununla birlikte, x, squared, equals, minus, 1 denklemi için karmaşık sayı sistemi olarak adlandırılan yeni bir sayı sisteminde bir çözüm bulunmaktadır.

İmajiner birim

Bu yeni sayı sisteminin belkemiği imajiner birim yani i sayısıdır.
i sayısına ilişkin olarak aşağıdaki ifade doğrudur:
  • i, equals, square root of, minus, 1, end square root
  • i, squared, equals, minus, 1
İkinci özellik, bize i sayısının gerçekten x, squared, equals, minus, 1 denkleminin bir çözümü olduğunu gösterir. İmajiner birimin eklenmesiyle, daha önce çözülemez olan denklem artık çözülebilmektedir!

Yalın İmajiner Sayılar

i sayısı yalnız değildir! Bu imajiner birimin katlarını alarak, sonsuz sayıda çok yalın imajiner sayı yaratabiliriz.
Örneğin, 3, i, i, square root of, 5, end square root ve minus, 12, i, veya b'nin sıfır harici gerçek sayı olduğu b, i formundaki sayıların hepsi yalın imajiner sayılara örnektir.
Bu sayıların karesini almak, bunların gerçek sayılarla ne şekilde ilişkili olduğunu biraz aydınlatır. 3, i sayısının karesini alarak bunu biraz araştıralım. Tam sayı üslerin özellikleri aynı kalır, dolayısıyla 3, i'nin karesini aynen düşündüğümüz gibi alabiliriz.
(3i)2=32i2=9i2\begin{aligned}(3i)^2&=3^2i^2\\ \\ &=9{i^2}\\\\ \end{aligned}
i, squared, equals, minus, 1 olduğu gerçeğini kullanarak, bunu aşağıda gösterildiği gibi daha fazla sadeleştirebiliriz.
(3i)2=9i2=9(−1)=−9\begin{aligned}\phantom{(3i)^2} &=9\goldD{i^2}\\\\ &=9(\goldD{-1})\\\\ &=-9 \end{aligned}
left parenthesis, 3, i, right parenthesis, squared, equals, minus, 9 olması, 3, i'nin minus, 9'un karekökü olduğu anlamını taşır.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

left parenthesis, 4, i, right parenthesis, squared nedir?
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Aşağıdakilerden hangisi minus, 16'nın bir kareköküdür?
1 cevap seçin:

Bu yolla, yalın imajiner sayıların, negatif sayıların karekökleri olduğunu görebiliriz!

Yalın imajiner sayıları sadeleştirme

Aşağıdaki tablo, yalın imajiner sayılar için hem sadeleştirilmiş hem sadeleştirilmemiş formda örnekler göstermektedir.
Sadeleştirilmemiş formSadeleştirilmiş form
square root of, minus, 9, end square root3, i
square root of, minus, 5, end square rooti, square root of, 5, end square root
minus, square root of, minus, 144, end square rootminus, 12, i
Ancak, bu yalın imajiner sayıları nasıl sadeleştiriyoruz?
Birinci örneğe daha yakından bakalım ve sadeleştirmeyi düşünebilir miyiz görelim.
Orijinal denklikDüşünme süreci
−9=3i\begin{aligned}\sqrt{-9} = 3i \end{aligned}minus, 9'un karekökü imajiner bir sayıdır. 9'un karekökü 3'tür, buna göre negatif 9'un karekökü start text, 3, end text imajiner birim veya 3, i'dir.
Aşağıdaki özellik, yukarıdaki ''düşünme sürecini'' matematiksel terimlerle açıklar.
a, is greater than, 0 için, square root of, minus, a, end square root, equals, i, square root of, a, end square root
Eğer bunu köklü sayıları sadeleştirmeye ilişkin bildiklerimizle birleştirirsek, tüm yalın imajiner sayıları sadeleştirebiliriz. Bir örneğe bakalım.

Örnek

square root of, minus, 18, end square root'i sadeleştirin.

Çözüm

Önce, square root of, minus, 18, end square root'in bir imajiner sayı olduğuna dikkat edin, çünkü bu negatif bir sayının kareköküdür. Dolayısıyla, square root of, minus, 18, end square root'i i, square root of, 18, end square root olarak tekrar yazarak başlayabiliriz.
Sonra, köklü ifadeleri sadeleştirmeye ilişkin bildiklerimizi kullanarak square root of, 18, end square root'i sadeleştirebiliriz.
İş aşağıda gösterilmiştir.
−18=i18a>0, −a=ia için=i⋅9⋅29, 18’in tam kare olan bir çarpanıdır=i9⋅2ab=a⋅b burada a,b≥0=i⋅3⋅29=3=3i2Çarpma işlemi yer deg˘işme o¨zellig˘ine sahiptir\begin{aligned}\sqrt{-18}&=i\sqrt{18}&&\small{\gray{\text{$a>0$, $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$ için}}}\\\\ &=i\cdot\sqrt{9\cdot 2}&&\small{\gray{\text{$9$, $18$'in tam kare olan bir çarpanıdır}}}\\\\ &=i\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}&&\small{\gray{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \text{ burada } a, b\geq0}} \\\\ &=i\cdot 3\cdot \sqrt2&&\small{\gray{\sqrt{9}=3}}\\\\ &=3i\sqrt{2}&&\small{\gray{\text{Çarpma işlemi yer değişme özelliğine sahiptir}}} \end{aligned}
Buna göre, square root of, minus, 18, end square root, equals, 3, i, square root of, 2, end square root'dir.

Şimdi birkaç soruyla alıştırma yapalım

Problem 1

square root of, minus, 25, end square root'i sadeleştirin.

Problem 2

square root of, minus, 10, end square root'u sadeleştirin.

Problem 3

square root of, minus, 24, end square root'ü sadeleştirin.

Neden imajiner sayılar var?

Cevap basittir. İmajiner birim i, gerçek sayı çözümü olmayan pek çok denklemin çözümünü bulmamızı sağlar.
Bu saçma gelebilir, ancak aslında denklemlerin bir sayı sisteminde çözülemez olması ancak daha genel bir başka sayı sisteminde çözülebilmesi oldukça yaygındır.
Burada daha aşina olabileceğiniz birkaç örnek bulunuyor.
  • x, plus, 8, equals, 1'i sadece sayma sayılarıyla çözemeyiz; bunun için bize tam sayılar lazım!
  • 3, x, minus, 1, equals, 0'ı sadece tam sayılarla çözemeyiz; bunun için bize irrasyonel sayılar lazım!
  • x, squared, equals, 2'yi sadece rasyonel sayılarla çözemeyiz. İrrasyonel sayılara ve gerçel sayı sistemine girin!
Böylece, sadece gerçek sayılarla x, squared, equals, minus, 1'i çözemeyiz. Bunun için bize imajiner sayılar gerekiyor!
Matematik alanındaki bilginiz arttıkça, bu sayıların önemini görmeye başlayacaksınız.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.