Sütun Uzayı ya da Rank'un Boyutu

Birkaç videoda bir matrisin sütun uzayının ne kadar kolay bulunduğunu görmüştük. A'nın sütun uzayı sadece, sütun vektörlerinin lineer birleşimlerine eşit. Tüm lineer birleşimleri yerine germe de diyebiliriz. Buna a 1 diyelim.Mesela bunlar da a 2, a 3 ve a 4 olsun. Bu da a 5 olsun. Buna göre, A'nın sütun uzayı a 1, a 2, a 3, a 4 ve a 5'in germesine eşit. Değil mi? Daha da ilginç bir soru, bu vektörlerin sütun uzayının doğurayı olup olmadığı. Ve daha da ilginci, A'nın sütun uzayının doğurayı nedir? Bu videoda size doğurayı bulmak için bir yöntem göstereceğim. Süreç sırasında da neden bu yöntemin işe yaradığını anlayacaksınız. Bir sonraki videoda da yöntemi size ispatlayacağım. Şimdi A'nın sütun uzayının doğurayını bulmaya çalışıyorum. Bu vektörlerin sütun uzayını gerdiği zaten belli. Yani, sütun uzayı, bu vektörlerin germesidir. Ama doğuray olması için, vektörlerin aynı zamanda lineer bağımsız olması da gerekir. Bunların veya bunların bir altkümesinin lineer bağımsız olup olmadığını bilmiyorum. Yapmanız gereken şey, burada sadece yöntemi anlatacağım, ispat yapmayacağım, yapmanız gereken şey, bu matrisi satır indirgenmiş basamak matris haline çevirmek. Ve bizde şimdi böyle yapalım. İlk satırı aynı tutuyoruz. 1, 0. Şu sağ tarafa yazıyorum. Birinci satırı aynen yazalım. 1, 0, eksi 1, 0, 4. İkinci satırın yerine de şimdi ne yapıyoruz, ikinci satır eksi 2 çarpı birinci satır değil mi? Şimdi ikinci satır.2 eksi 2 çarpı 1 eşittir 0. 1 eksi 2 çarpı 0 eşittir 1. 0 eksi 2 çarpı eksi 1, yani 0 artı 2 tamam. 0 eksi 2 çarpı 0 eşittir 0. Ve, 9 eksi 2 çarpı 4 eşittir 1. Tamam.Şimdi bunu sıfırlamak istiyorum. Bunu yapmak da basit.Bu satırın yerine bu satır artı ilk satırı yazayım. Eksi 1 artı 1 eşittir 0. 2 artı 0 eşittir 2. 5 eksi 1 eşittir 4. 1 artı 0 eşittir 1. Eksi 5 artı 4 eşittir eksi 1 Şimdi şunu sıfırlamak için, bu, eksi birinci satırla değiştirelim. 1 eksi 1 eşittir 0. Eksi 1 eksi 0 eşittir eksi 1. Eksi 3 eksi eksi 1, yani eksi 3 artı 1, yani eksi 2 sonuç. Eksi 2 eksi 0 eşittir eksi 2. 9 eksi 4 eşittir 5. Evet bir tur işlem yaptık.Ve birinci pivot hazır. Şimdi bir tur satır işlemi daha yapalım. Bunların hepsini sıfırlamak istiyorum. Bu zaten 0.Birinci veya ikinci satırımızı değiştirmeye gerek yok.Yani, 1, 0, eksi 1, 0, 4. İkinci satır da, 0, 1, 2, 0, 1. Şimdi şunu yok edelim.Üçüncü satırın yerine üçüncü satır eksi 2 çarpı ikinci satırı yazalım. 0 eksi 2 çarpı 0 eşittir 0. 2 eksi 2 çarpı 1 eşittir 0. 4 eksi 2 çarpı 2 eşittir 0. 1 eksi 2 çarpı 0 eşittir 1. Eksi 1 eksi 2 çarpı 1 eşittir eksi 3. Tamamdır.Şimdi bunu yok etmek, yani sıfıra çevirmek istiyoruz. Dördüncü satırın yerine dördüncü satır artı ikinci satırı yazalım. 0 artı 0 eşittir 0. Eksi 1 artı 1 eşittir 0. Eksi 2 artı 2 eşittir 0. Eksi 2 artı 0 eşittir eksi 2. Ve 5 artı 1 eşittir 6. Sonuca yaklaşıyoruz. Bir pivot elemanlara bakalım.Bu, bir pivot eleman.Bu da pivot eleman.Bu pivot değil. Bu da pivot olacak. Şu eksi 2'yi sıfırlayalım da çözümümüz bitsin. Şimdi birinci satırı aynen yazalım. Birinci satırı 1, 0, eksi 1, 0, 4 olarak yazalım.İkinci satırı da 0, 1, 2, 0, 1 olarak yazıyorum.Üçüncü satırı 0, 0, 0, 1, eksi 3 olarak yazdım. Şimdi dördüncü satırı değiştirelim.Yerine 2 çarpı ikinci satırı ekleyerek yazalım. 0 artı 2 çarpı 0, 0 artı 2 çarpı 0, 0 artı 2 çarpı 0, eksi 2 artı 2 çarpı 1 eşittir 0. 6 artı 2 çarpı eksi 3, 6 eksi 6, eşittir 0. Matrisi satır indirgenmiş basamak matris haline çevirmiş olduk.Etrafına köşeli parantezi de koyayım. İşlemleri yaptığınızda çok da zor olmadığını göreceksiniz. Bazen işlemleri düşünmek bile sizi bunaltabilir, ama bunun çözümü çok da zor değildi. A'nın satır indirgenmiş basamak matrisine R diyeyim. R matrisi böyle. R matrisinde peki neyi gözlemliyoruz? 3 pivot eleman var.Bunları işaretleyelim. Birinci, ikinci ve dördüncü sütunlar pivot sütunlar. Bunu daha önce yapmıştık. İki şey gözlemleriz.Bu üç sütun lineer bağımsız. Bunu nasıl biliyorum? Birbirlerine göre lineer bağımsız. Bunları bir küme olarak düşünsek, r 1, r 2, r 3, şu da r 4. r 1, r 2 ve r 4'ün lineer bağımsız olduğu belli. Peki, neden? Burada 1 ve diğer iki vektörün aynı konumunda ise 0 var, öyle değil mi? Pivot elemanın tanımı bu şekilde. Pivot sütunlarda, 1 olan yerin dışındaki her konumda 0 olur. Herhangi bir pivot sütunun 0 dağılımı kendine özgüdür. Veya 1'in bulunduğu yer kendine özgüdür. Yani, bunların lineer birleşimlerini alıp 1 elde edemezsiniz. İsterseniz 100 çarpı 0, isterseniz eksi 3 çarpı 0 deyin. Yine 0'lar elde edeceksiniz. Yani, bunların hiçbir lineer birleşimi şuna eşit olmayacak. Aynı mantıkla, bu ve şunun lineer birleşimi de bunu veremez. Pivot elemanın tanımına göre böyle. Satır indirgenmiş basamak matriste, her pivot sütunda 1'in yeri farklı olacak. Bunların lineer bağımsız olduğu belli. Bunu size ispatlamadım, ama bu A matrisindeki a 1, a 2 ve a 4 de lineer bağımsız. a 1, a 2 ve a 4. Küme olarak yazayım. Bunlar da lineer bağımsız. Sanıyorum, bu satır işlemlerinin matrisin esasını değiştirmediğini anlıyorsunuz. Bunu daha iyi anlatacağım, ama öncelikle sütun uzayının doğurayının nasıl bulunduğunu bir anlamanızı istedim.Yani bunlar lineer bağımsız. Sıradaki soru ise, sütun uzayını gerip germedikleri. Bu beş vektör, tanım gereği, sütun uzayını gerer. Bunu bu videoda göstermeyeceğim, ama pivot olmayan sütunları pivot sütunların lineer birleşimi olarak gösterebilirsiniz. Önceki videolarda boşuzay bulurken bu konuya değinmiştik. Yani, bu vektörler şunların lineer birleşimleri olarak ifade edilebilir. Size bunu henüz göstermedim, ama bana inanıyorsanız, germe için şu ve bu sütuna ihtiyacınız yok, diyorum. Şöyle de düşünebilirsiniz: Bu sütunlar germenin içindedir, ama germe için onlara ihtiyaç yoktur. İhtiyaç duyarsanız, şunların lineer birleşimi ile oluşturabilirsiniz. Yani, A'nın sütun uzayının doğurayını bulmak istiyorsanız, A'yı satır indirgenmiş basamak matris haline çevirin. Satır indirgenmiş basamak matristeki pivot elemanlara bakın, yani şu üç eleman. Ve sonra da A'daki aynı sütunları alırsanız, doğurayı bulmuş olursunuz. Çünkü pivot olmayan sütunları oluşturmak için, pivot sütunların lineer birleşimlerini alırız ve pivot sütunlar lineer bağımsızdır. Henüz bunu ispatlamadım. Ama doğurayı bulmak istiyorsanız, a 1, a 2 ve a 4. Şimdi bir soru daha cevaplayabiliriz. Buna göre, a 1, a 2 ve a 4 sütun uzayının doğurayı olur. Çünkü digger iki vektörü doğuray vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazabilirim ve a 1, a 2, a 4 lineer bağımsızdır. Şimdi bir sonraki soru şöyle: Doğurayın boyutu nedir? Veya doğurayın değil A'nın sütun uzayının boyutu nedir? Boyut, sütun uzayının herhangi bir doğurayındaki vektör sayısıdır. Bir altuzayın her doğurayındaki vektör sayısı aynıdır. 1, 2, 3 vektör var.Yani sütun uzayının boyutu 3. Sütun uzayının boyutunun özel bir terimi var, bu arada rauk diyoruz. Nasıl okuyorsanız.Yani A'nın rankı, rank diyelim sütun uzayının boyutu, 3'e eşit. Veya, A'nın rankı, sütun uzayını geren lineer bağımsız sütun vektör sayısıdır, öylede düşünebilirsiniz. Sütun uzayını geren lineer bağımsız sütun vektör sayısı evet tekerleme gibi. Diğer sütun vektörlerini oluşturan lineer bağımsız sütun vektörü sayısıdır, Evet tahminen yine kafanızı biraz karıştırdım gibi sanki ama aslında yöntem gayet basit. A'yı satır indirgenmiş basamak matris haline çevirip pivot sütunları buluyoruz. A matrisindeki aynı sütunlar, sütun uzayının doğurayını oluşturuyor. Matrisin rankını bulmak istiyorsanız da, doğuray vektörlerini sayarsınız. Veya bu vektörleri saymak istemiyorsanız, satır indirgenmiş basamak matristeki pivot sütunları sayarsınız. Yöntem böyle.Niye işe yaradığını bir sonraki videoda anlatacağım hoşçakalın..