Çift Katlı İntegraller 6

Tekrar hoşgeldiniz. Bir önceki videoda yüzeyin altındaki hacmi hesaplıyorduk ve integral limitlerini bulmuştuk. Şimdi integrali hesaplayalım. Şimdi, bu integrali nasıl hesaplarız? İlk integrali x'e göre alıyorum, Küçük x toplamlarını alıyorum. Şuradaki dikdörtgeni oluşturuyorum değil mi? Şöyle de düşünebiliriz: y'yi sabit tutuyoruz ve x ekseni boyunca integral alıyoruz. Farklı bir renk yapalım. x y karenin x'e göre terstürevi nedir? x kare bölü 2'dir. Bir de, tabii, y kare var, ki o da sabit. Yani, x kare y kare bölü 2. Şimdi bunu 1'den karekök y'ye kadar hesaplayacağım. Burada ki karekök y sizi korkutmasın. Hesaplayınca, sonuç o kadar karışık çıkmayacak. Şimdi integralin dışını çizeyim. Burası y eşittir 0'dan y eşittir 1'e kadar ki kısım. dy. x, 1'e eşit olduğunda, bu ifade y kare bölü 2 oluyor. x, karekök y'ye eşit olduğunda, ifademizin değeri peki nedir? x, karekök y'ye eşitse, x kare, y'ye eşittir. Ve, y çarpı y kare de, y kübe eşit. Öyle değil mi? O zaman, cevap y küp bölü 3. Tamam. Şimdi de y'ye göre integral alalım. y yönündeki dikdörtgenleri topluyorum. 0, 1. Şimdi y'ye göre integral alıyoruz. Çok güzel, değil mi? İlk integrali x'e göre aldığınızda, y cinsinden bir fonksiyon elde ediyorsunuz. Dolayısıyla, integral limitleriniz y cinsinden fonksiyon olabilir. Bu, işinizi zorlaştırmaz. Neyse, bu arada sorumuza dönelim. y kare bölü 2 eksi y küp bölü 3'ün terstürevi nedir? y karenin terstürevinde 3'e bölmek gerekiyor, yani y küp bölü 6. Eksi y üzeri 4 eksi 4'e bölmeniz lazım. y üzeri 4, bölü 12. Bu arada bir dakika. Burayı 3 nasıl 3 buldum? Hata burada. Burası 2 olmalı değil mi? Şimdi bakalım. x, y'inin karekökü. Evet, bu bu 2. y'nin karekökünün karesi, y'ye eşittir. Çarpı y kare, bölü 2 eşittir y küp bölü 2. Evet. Evet şimdi bunun integralini alayım. 4 çarpı 2. 8. Evet böyle böyle dikkat hataları yapmamalıyım değil mi. Neyse çok yorgunum ondandır belkide kusuruma bakmayınız. y küp bölü 2'nin terstürevini aldığımda, y üzeri 4, bölü 8 evet. Şimdi 1 ve 0'daki değerlerini bulalım. Bu bize neyi verir? 1 bölü 6 eksi 1 bölü 8 eksi eksi 0 koyduğumuzda, ikisi de 0 olacak. Yani, burası 0 eksi 0 olacak. Onun için, bunu dikkate almanıza gerek yok. 1 bölü 6 eksi 1 bölü 8 bu ne eder? 24. Burası, 4 eksi 3 ,bölü 24, yani 1 bölü 24. Bu, bulmak istediğimiz hacim. Önce x'e göre integral aldık sonra da y'ye göre integral aldık. Bir de, şimdi tam tersi sırayla yapalım. Şurayı sileyim. Umarım, aynı hatayı tekrarlamam. Şu şekli tutuyorum, bunu siliyorum. Buranın tamamını sileyim. Bu şekli silmedim. Daha iyi görebilmemiz için xy düzlemini baştan çizelim. Bu soruları çözerken, üç boyuttan ziyade, xy düzlemini görsellemek daha önemli. y ekseni, x ekseni. Tamam. Üst sınır olarak, y eşittir x kareyi alabiliriz. Veya, x'in sınırı y'nin kareköküdür, de diyebiliriz. Burası, x eşittir 1; burası da y eşittir 1. Ve, taranmış yerin üstündeki hacmi bulmak istiyoruz. Öyle değil mi? Taranmış kısım, şu sarı bölüm. Şimdi, d a'mızı çizelim. Küçük bir kare çiziyorum. Koyu pembeyle. Burası d a. Yükseklik d y. Evet bu da, d x. Öyle değil mi? Şu karenin üstündeki hacim, bu kareyle aynı şey. Daha evvel söylediğim gibi, üstündeki hacim, fonksiyon değerine eşit. Yükseklik, fonksiyon değerine eşit, yani x y kareye. Ve, bunu taban alanıyla çarpıyoruz. Taban alanına d a diyebiliriz ama, aslında dy çarpı dx olduğunu biliyoruz değil mi. Önce y yazdım, çünkü, öncelikle y'ye göre integral alacağız. y yönünde toplam alıyoruz. y yönünde toplam almak ne anlama geliyor? Yani bu kareleri topluyoruz. Buna göre, dy leri topluyoruz, Şimdi size soruyorum: y'nin üst sınırı nedir? Yine, eğrimize rastladık. Yukarı hareket ederken bu eğri bizim üst sınırımız. Eğrinin üst sınırı nedir? x sabit olduğuna göre, herhangi bir x değerine göre, bu y değeri nedir? x kare olmak zorunda değil mi? Çünkü, bu eğri, y eşittir x karenin grafiği. Dolayısıyla, üst sınırımız, y eşittir x kare. Peki alt sınırımız nedir? Şuradaki kareleri toplamaya devam edebiliriz. y'deki küçük farkları topluyoruz. Alt sınırımız nedir? Alt sınırımız 0. Burası basit. Buna göre, bu ifade, şu dikdörtgenin üstündeki hacim. Öyle değil mi? Şöyle çizeyim. Bu dikdörtgenin üstündeki hacim. Bu dikdörtgen, ötekiyle aynı. Bu dikdörtgenin üstündeki hacim. Şimdi, d x leri toplayalım, ve böylece tüm yüzeyin üstündeki hacmi bulmuş olacağız. Şimdi bu dikdörtgeni, başka bir d x dikdörtgenine, ve de diğer d x dikdörtgenlerine ekleyelim. O zaman x'lerin alt ve üst sınırı ne olacak? x eşittir 0'dan başlıyoruz, değil mi? Aşağıya indiğimizde, grafiğe rastlamıyoruz. Bu nedenle, x eşittir 0'dan başlıyoruz. Ve de, x'in üst sınırı 1. x eşittir 0, x eşittir 1. Şöyle hatırlayabilirsiniz: Son integrali alırken limitler fonksiyon değil, sayı olmalı. Öyle değil mi? Çünkü, cevabımızın sayısal olmak zorunda. Eğer, çok soyut bir problem çözmüyorsak tabii. Buradaki cevabımız bir sayı olacak Yani, burada değişkenli bir ifade varsa, hata yaptınız demektir Bana sorarsanız, önce d a'yı çizip cevabı sonra bulmak daha kolay. Evet, önce d y'leri topluyorum. Yukarı hareketimde, eğriyi görüyorum. O zaman, x sabitse, üst sınır nedir? x karedir; y eşittir x kare. Aşağı gittiğimde, x eksenine rastlıyorum, yani y eşittir 0. Ve böyle gidio. Şimdi, bunun değerini bulalım, ve aynı cevabı elde ediyor muyuz, bakalım. Önce y'ye göre integral alıyoruz. Bu da, x y küp bölü 3. x kare ve 0'ı koyacağız. Sonra da, dıştaki integralimiz var, 0'dan 1'e gidiyor. y yerine x kareyi koyarsak, x karenin kübü eşittir x üzeri 6. x çarpı x karenin kübü, bölü 3 bu, x üzeri 7'ye eşit. x karenin kübü için, üsleri çarpıyoruz sonra da şu üsleri topluyoruz x üzeri 7, bölü 3. Eksi, y yerine 0 koyarak şimdi bunun değerini bulalım. Bu 0 olacak değil mi? Şimdi de, bu ifadenin x'e göre 0'dan 1'e integralini alalım. Neredeyse bitti. Üssü 1 artırayım. x üzeri 8, bölü 8. Şurada bir 3'ümüz vardı, o sebepten bölü 24 oldu. Şimdi 0'dan 1'e değerini bulalım. Sanıyorum, aynı cevabı elde edeceğiz. 1 için değeri, 1 bölü 24, eksi 0. Diğer sırayla integralini aldığımız zaman da, aynı hacmi, yani 1 bölü 24 birim kübü buluyoruz. Bir sonraki videoda görüşürüz.