Kesirli Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Elimizde, 2r eksi 3 tam 1 bölü 4'ün mutlak değeri, küçüktür, 2 tam 1 bölü 2, eşitsizliği var. Evet, ve r'yi bulmamız isteniyor. Biliyoruz ki, bu soruda mutlak değerlerle uğraşacağız. O zaman şöyle bir tekrar edelim. Eğer deseydim ki, x küçüktür ,2 tam 1 bölü 2. Bu ne demek olurdu? Bu şu demek olurdu; x'in 0'a olan uzaklığı, 2 tam 1 bölü 2'den daha azdır. Bu demektir ki, x küçüktür, 2 tam 1 bölü 2, ve, x büyüktür, eksi 2 tam 1 bölü 2. Evet şimdi bunun hakkında biraz düşünün. Eğer bunu şurada bir sayı doğrusuna çizecek olsaydım, burası 0, burası 2 tam 1 bölü 2, ve burası da, eksi 2 tam 1 bölü 2 olurdu değil mi? Bu iki sayı, 0 dan, tam olarak, 2 tam 1 bölü 2, uzaklıktalar. Çünkü, ikisinin de mutlak değeri tam olarak, 2 tam 1 bölü 2. Eğer ki, mutlak değeri 2 tam 1 bölü 2'den az olan sayıları arıyorsak, demek oluyor ki, arada kalan tüm sayılar bu tanıma uyar. Bu da tam olarak, az önce belirttiğimiz iki eşitsizlikle uyuşmaktadır. x küçüktür, 2 tam 1 bölü 2 ,ve x büyüktür , eksi 2 tam 1 bölü 2 . Eğer, işaret tam tersi olsaydı, yani x'in mutlak değeri, büyüktür, 2 tam 1 bölü 2 olsaydı, bu sefer çözüm kümesi ,arada kalan sayılar değil, dışarıda kalan sayılar olacaktı. Ancak ,esas sorumuzda "küçüktür" işareti var. Az önce x'te yaptığımızı tekrar edelim. Mutlak değer içerisindeki ifadenin sıfıra olan uzaklığı, 2 tam 1 bölü 2'nin, sıfıra olan uzaklığından daha az. Yani, 2r, eksi 3 tam 1 bölü 4 küçüktür , 2 tam 1 bölü 2, ve 2r, eksi 3 tam 1 bölü 4 büyüktür, eksi, 2 tam 1 bölü 2, çözüm kümemizi oluşturacak. Aynı mantıkla yaptık. Evet bir sayı doğrusu çizeyim ki, kafamız karışmasın. Aynı mantık yani... Mutlak değer içerisindeki değer bu aralıkta olmalı. 2 tam 1 bölü 2, ve eksi 2 tam 1 bölü 2'nin arasında. eksi 2 tam 1 bölü 2 'den büyük 2 tam 1 bölü 2'den de, küçük olmak zorunda. Ama o iki nokta dahil değil. Bunları ayrı ayrı çözelim öyleyse. Şimdi, bu tam sayılı kesirlerin hepsini bileşik kesirlere çevirelim. Evet, hepsini bileşik kesirlere çevirelim, baştan yazalım şimdi. 2r, eksi 13 bölü 4, küçüktür, 5 bölü 2 var elimizde, evet bu birinci eşitsizlik. Şimdi de ikinci kısımı yapalım. 2r eksi 13 bölü 4, büyüktür, eksi 5 bölü 2. Şimdi bunları ayrı ayrı çözelim. Bütün kesilerden kurtulmak için, iki tarafı da 4'le çarpalım. Böylelikle kesir falan, kalmayacak, evet . İki tarafı da 4'le çarpıyoruz. Peki, sonuç ne oluyor? 4 çarpı 2r, eşittir 8r, eksi 4 çarpı 13, bölü 4 . 13 bölü 4, 4 ile çarparsak ,13 eder, evet.. Bu da küçüktür, 5 bölü 2, çarpı 4, eşittir 10. Ayrıca, pozitif bir sayıyla çarptığımdan dolayı, işaret değiştirmekle de uğraşmıyoruz. Yani elimizde, 8r eksi 13, küçüktür 10 var, evet... İki tarafa da şimdi 13 ekleyim ki, r yalnız kalsın, evet. Bu ne etti? 8r küçüktür 23, kalıyor elimizde. İki tarafı da 8'e bölüyoruz. Yine işaret değiştirme sorunu yok, çünkü pozitif bir sayı ile, bölüyoruz. Sonuç olarak elimizde, r küçüktür, 23 bölü 8 var. Tam sayılı olarak, r küçüktür, 2 tam 7 bölü 8, evet böyle de diyebilirsiniz. Şimdi diğer koşulu da çözelim. Bu iki koşul birbirine bağlılar, ikisi de sağlanmalı. Bu koşulumuz, 2r eksi 13 bölü 4, büyüktür, eksi 5 bölü 2 Güzel... İki tarafı da 4'le çarpıyoruz hemen, evet... 2r çarpı 4, eşittir 8r 4 çarpı, eksi 13 bölü 4'de, eksi13'e eşittir, evet.. Peki, eksi 5 bölü 2, çarpı 4, eşittir eksi 10 İki tarafa da 13 ekliyoruz. Şimdi 8r, büyüktür 3 kaldı elimizde... Evet, iki tarafı da 8'e bölersek, r büyüktür, 3 bölü 8 oluyor sonucumuz. Evet, iki koşulumuz, r küçüktür, 2 tam 7 bölü 8 ve r büyüktür, 3 bölü 8, evet... Evet, bunu şöyle sade bir biçimde yazabiliriz 3 bölü 8, küçüktür r, küçüktür, 2 tam 7 bölü 8 Peki bunu sayı doğrusunda gösterelim şimdi evet, Bu sayı doğrumuz. 0 burada, 1, 2, 3...evet... 2 tam 7 bölü 8'den, daha küçük olmalıymış, değil mi? O zaman şurası, mesela 2 tam 7 bölü 8 olsun. Evet bu arada, 3 bölü 8'den de, büyük olmak zorundayız. Şurası da 3 bölü 8 oldu. Şu iki değer arasındaki tüm sayılar, çözüm kümesidir. Bunu sağlamasını da yapabiliriz, evet. Bakalım doğru olacak mı? Eğer 1 koyarsak r yerine, sonuç doğru olmalı, deneyelim. 2 çarpı 1, eksi 3 tam 1 bölü 4, evet bu ne eder? 2 eksi, 3 tam 1 bölü 4'e eşittir. Peki, bu neye eşit oluyor? Eksi1 tam, 1 bölü 4, evet bu da. Ancak bunun mutlak değerini alıyoruz, yani bu da, 1 tam 1 bölü 4'e eşit oluyor. Bu da kesinlikle, 2 tam 1 bölü 2'den daha azdır, daha küçüktür. Başka bir sayı deneyelim. 0 olsun bu sayı evet, 0 çözüm kümesinde olmadığından, 0 yanlış sonuç vermeli. 0 koyarsak ne olur? Peki ala... 2 çarpı 0, eksi 3 tam 1 bölü 4, yani bu da, eksi 3 tam 1 bölü 4'e eşittir. Peki, bunun multak değerini aldığımızda ne olur? 3 tam 1 bölü 4 olur elimizde, ve göründüğü gibi sonuç, yanlıştır. Çünkü, 3 tam 1 bölü 4, 2 tam 1 bölü 2'den küçük olamaz. Aynı şey 3 için de geçerlidir, mesela; 2 çarpı 3 eşittir 6, 6 eksi, 3 tam 1 bölü 4, 2 tam 3 bölü 4'ün mutlak değeri de kendisine eşittir, ve bu da, 2 tam 1 bölü 2'den büyük değildir, yani çözüm kümemiz doğrudur.